Transformasi Geometri

1.   Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi geometri merupakan salah satu cabang geomtri yang membahas perubahan letak atau bentuk suatu objek geometri sebagai akibat pergeseran, pencerminan, perputaran, perubahan, perubahan skala atau peregangan.

Suatu objek atau bangun geometri bangun geometri yang di transformasikan akan mengalami perubahan letak atau perubahan bentuk suatu bangun geometri disebut Transformasi Isometri. Setelah transformasi, sifat suatu bangun geometri ada yang tidak berubah atau disebut Invarian. Suatu transformasi yang tidak mengubah arah orientasi disebut Transformasi Langsung atau Transformasi Genap.

Jenis-jenis transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

    a.    Translasi (Pergeseran)

    b.    Refleksi (Pencerminan)

    c.    Rotasi (Perputaran)

    d.    Dilatasi (Perkalian)

2. Translasi dan Operasinya
Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. Suatu translasi akan menggeser sebuah objek geometri dengan suatu jarak dan arah tertentu.
Jika translasi  memetakan titik P (x, y) ke titik P’(x’, y’) maka x’ = x + a dan y’ = y + b atay P’ (x + a, y + b ) ditulis dalam bentuk : 

Contoh soal : Contoh : Tentukan koordinat bayangan titik A (-3, 4) oleh translasi
Jawab :

A’ = ( -3 + 3, 4 + 6)
A’ = (0, 10)

3. Refleksi (Pencerminan) 

a. Pencerminan terhadap sumbu x

Matriks percerminan :

b. Pencerminan Terhadap sumbu y 

Matriks Pencerminan:

c. Pencerminan terhadap garis y = x 

Matriks Pencerminan

 

d. Pencerminan terhadap garis y = -x 

Matriks Pencerminan:

e. Pencerminan terhadap garis x = h 

Matriks Pencerminan:

Sehingga:

f. Pencerminan terhadap garis y=k 

Matriks Pencerminan : 

Sehingga:

 

g. Pencerminan terhadap titik asal O (0, 0)

Matriks Pencerminan :

Sehingga: 

h. Pencerminan terhadap garis y = mx dimana m = tan q

4. ROTASI / PERPUTARAN

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)

Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

• +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
• +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
• +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

Contoh soal : Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis x = 10
b) Terhadap garis y = 8

Pembahasan
Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k
a) Terhadap garis x = 10
           x = h
(a, b) ----------> (2h − a,  b)

           x = h
(3, 5) ----------> ( 2(10) − 3,  5) = (17,  5)

b) Terhadap garis y = 8
           y = k
(a, b) ----------> (a, 2k − b)

            y = k
(3, 5) ----------> ( 3,  2(8) − 5) = (3,  11)

4.    Pengertian Dilatasi

Dilatasi (pembesaran atau perkalian) ialah suatu transformasi  yang mengubah ukuran (memperkecil atau memperbesar) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor (faktor skala) dilatasi.

B.     Faktor skala dalam dilatasi

Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik pusat dilatasi. Faktor skala (k) jua di definisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi  tiap bayangan dan panjang sisi yang berkaitan pada benda.

Faktor skala k =

Pada dilatasi suatu bangun faktor K akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangan.

(I) Jika K > 1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

(II) Jika 0 < K < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

(III) Jika -1 < K < 0, maka bangun bayangan diperkecil dan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

(IV) Jika K < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak berlainan terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

C.    Menentukan koordinat bayangan oleh dilatasi [ 0,K]

1)  Dilatasi terhadap titik pusat O (0,0)

Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala K didapat bayangan titik P’(x’,y’).
Maka mempunyai posisi (x',y') dengan:

 (x',y')   =    X’ = Kx

                   Y’ = Ky

2)  Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)

Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor skala K didapat bayangan titik P’(x’,y’) maka:

      X’ = a + K (x-a)
      Y’ = b + K (y-b)

Contoh soal : Contoh: sebuah segitiga ABC dengan titik A (1,2) B (2,3) dan C (3,1) mendapat dilatasi terhadap titik 0 dengan faktor skala 2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik sudut  segitiga ABC

Jawab : Koordinat bayangan titik A, B dan C masing-masing adalah A1 (2,4), B1(4,6) dan C’ (6,2)

Catatan      :        Misal faktor skala k1 maka

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan bahwa dilatasi merupakan transformasi non isomotri yang merubah ukuran berada namun tidak mengubah benda itu.

Saran

Diharapkan agar materi ini dapat dipahami dan dapat diterapkan atau digunakan jika dibutuhkan dalam kehidupan sehari-hari. Kritik dari berbagai pihak sangat diperlukan guna membangun kinerja penulis untuk menyempurnakan makalah ini.